Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）存在，

【解析】

（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中的关系和已知，可以求出椭圆方程；

（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.

【解析】
（1）由已知可得：解得，，，

所以椭圆：.

（2）由已知可得，，，∴，∵，

设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得

，设，，

则，，

∵，∴.

即，

因为，，

即.

.

所以，或.

又时，直线过点，不合要求，所以.

故存在直线：满足题设条件.