Question

某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.

产品品质	立品尺寸的范围	价格与产量的函数关系式
优
中
差

以频率作为概率解决如下问题：

（1）求实数的值；

（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；

（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.

Answer

（1）；（2）见解析（3）年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.

【解析】

（1）根据在频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可以求出实数的值；

（2）分别求出当产品品质为优、为中、为差时的频率，然后列了分布列，

（3）根据题意，得到该公司年利润的函数关系式，然后利用导数求出公司年利润最大值.

【解析】
（1）由题意得，解得；

（2）当产品品质为优时频率为，此时价格为；

当产品品质为中时频率为，此时价格为；

当产品品质为差时频率为，此时价格为；

以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：

0.5

0.2

0.3

（3）设公司年利润为，则

整理得，

显然当时，，时，，

∴当年产量时，取得最大值.

估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.