已知函数，. （1）若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；（2）求证：.

已知函数，.

（1）若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；

（2）求证：.

（1）且.（2）证明见解析【解析】（1）对函数进行求导，分类讨论根据函数有唯一极小值点，最后求出实数的取值范围；（2）对所要证明的式子进行变形，构造函数：，求导，最后利用函数的单调性证明出结论. 【解析】，，，，设，当时，，在时，，即，所以单调递减，在时，，，所以单调递增，所以函数有唯一的极小值点成立；当时，令，得，，在时，，即，所以单调递减，在时，，，所以单调递增，所以函数有唯一的极小值点成立；当时，令，得，，当时不合题意，则，且，即且，设，，在时，，即，所以单调递减，在时，，，所以单调递增，在时，，即，所以单调递减，所以函数有唯一的极小值点成立；综上所述，的取值范围为且. （2）令，，则，令，易知在上单增，且，所以当时，，从而，当时，，从而，在单减，在单增，则的最小值为，所以当时，，即，即，所以，所以.

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考点分析：

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