Question

已知函数

(1)若讨论的单调性;

(2)当时,若函数与的图象有且仅有一个交点,求的值(其中表示不超过的最大整数,如.

参考数据:

Answer

（1）当时， 在单调递减；当时，在单调递减；在单调递增． （2）2

【解析】

（1）对进行求导，讨论的取值范围，令或，解不等式即可求解.

（2）两函数有且仅有一个交点 ，则方程

即方程在只有一个根, 令，研究

的单调性，求出的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.

【解析】
（1）

对于函数

当时，则在单调递减；

当时，令，则，解得

在单调递减；

令，解得，所以在单调递增．

（2）且两函数有且仅有一个交点 ，则方程

即方程在只有一个根

令，则

令，则

在单调递减，在上单调递增，故

注意到在无零点，在仅有一个变号的零点

在 单调递减，在单调递增，注意到

根据题意为 的唯一零点即

消去，得：

令，可知函数在上单调递增

，