Question

设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点，已知，.

（1）若，求函数的准不动点；

（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由题意，当时，可得，，可解得函数的准不动点．

（2）依在区间上存在准不动点，可得在上有根．通过分离变量，可转化为，令，只需求出在上的值域，即可得，最后根据在上恒成立，解得，取交集得实数的最终范围．

（1）由题意，可得，

即，，．

故当，函数的准不动点为．

（2）由题意知，即在上有根，

变形为，令，而在上单调递增，所以，即，所以．

又在上恒成立，所以．令，而在上单调递减，所以，即有，

综上，，即实数的取值范围为．