Question

某城市为配合国家“一带一路”战略，发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线与修建景观（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域内沿直线将与接通.已知，，河道两侧的景观道路修复费用为每米万元，架设在河道上方的景观桥部分的修建费用为每米万元.

（1）若景观桥长时，求桥与河道所成角的大小；

（2）如何景观桥的位置，使矩形区域内的总修建费用最低？最低总造价是多少？

Answer

（1）；（2）当桥与河道的夹角为时，建造费用最低为万元

【解析】

（1）过作的垂线，利用三角函数的定义计算夹角；

（2）用河道与桥梁的夹角表示出公路两侧的长度及公路间的长度，得到建造费用关于的函数关系式，换元，利用导数判断函数的单调性，即可求出最小值．

（1）过作，则，，

，

，即桥与河道所成角为．

（2）设桥与河道的夹角为，，

则，，

，

设总修建费用为万元，则，

令，则，

，令，得，

当时，，当时，，

所以当，取得最小值．

当时，，．

当桥与河道时夹角为时，建造费用最小，最小费用为万元．