Question

设，函数.

（1）若，求函数在区间上的最大值；

（2）若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）先根据绝对值定义化成分段函数形式，再根据对应区间单调性求最值；

（2）先根据绝对值定义化成分段函数形式，再根据的范围确定对应区间单调性，结合图象确定方程有三个不相等的实数解的条件，最后根据对勾函数性质求最值，即得结果.

（1）当，时，，

可知函数在区间递增，在上是减函数，在递增，

则，，

所以在区间上的最大值为.

（2），

①当时，因为，所以.

所以在上单调递增.

②当时，因为，所以.

所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，知在和上分别是增函数，

在上是减函数，

当且仅当时，

方程有三个不相等的实数解.

即.

令，在时是增函数，

故.

∴实数t的取值范围是.