Question

如图，在三棱柱中，，底面为正三角形，，D是BC的中点，P是的中点.求证：

（1）平面；

（2）平面.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）连接交于点O，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论；

（2）先根据平几知识得，再根据面面垂直判定定理与性质定理得，即得，最后根据线面垂直判定定理得结论.

（1）连接交于点O，连接OD，

在正三棱柱中，，∴侧面是正方形，

∴点O是的中点，又点D是BC的中点，故OD是的中位线.

∴，又，，∴

（2）由（1）知，侧面是正方形，又D、P分别为BC、的中点，

∴，∴，∴，

在正三棱柱中，D是BC的中点，∴，又，

且，，∴，

又，∴，又，∴.