Question

已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的轨迹方程

（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．

Answer

（1）；（2）2

【解析】

（1）设点，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；

（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，求得到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求．

（1）设点，,即，

，即，

曲线的方程为．

（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，

由（1）可知，点是圆的圆心，

点到直线的距离为，由得，即，

又，

所以，

令，所以，，

则，

所以，

当，即，此时，符合题意，

即时取等号，所以面积的最大值为.