Question

如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知和是边长分别为a和（m是常数的两个正四面体，底面中与交于点O，试求出塔尖P，Q之间的距离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖P，Q之间的距离最短．

Answer

，当时，塔尖P，Q之间的距离最短．

【解析】

过点作底面的垂线交底面于点，过点作底面的垂线交底面于点，连结，则四边形是直角梯形，由此能求出当时，塔尖，之间的距离最短.

如图，

过点作底面的垂线交底面于点，

过点作底面的垂线交底面于点，

连结，则，，三点共线，且，

则四边形是直角梯形，

在中，，，则，

同理，得，，

则

，

(，当时，等号成立)，

则当时，塔尖，之间的距离最短.