Question

已知函数关于的不等式的解集是，若，则的取值范围是________.

Answer

【解析】

作出y＝f（x）的图象，由题意可得f（x）＜m（x+2）+2，作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），结合题意可得m＜0，考虑直线经过点（0，1）和与直线y＝1﹣4x平行的情况，再通过旋转即可得到m的范围．当x≤﹣1时和当x＞﹣1时，分别解方程，x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0，即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根x1，x2；x1+x2＝m﹣6；方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根是x3；用m表示x1+x2+x3，根据m的取值范围解出即可．

画出函数y＝f（x）的图象，

关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0，

即为f（x）＜m（x+2）+2，

作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），

由解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），

若x1x2x3＞0，

可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，

当x≤﹣1时，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的两个实根；

即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根，∴x1+x2＝m﹣6；

当x＞﹣1时，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根；

∴x3；

∴结合图象可得m＜0，

当直线y＝m（x+2）+2经过（0，1）时，可得2m+2＝1，

解得m；

当直线y＝m（x+2）+2与直线y＝1﹣4x平行时，

m＝﹣4．

由可得﹣4＜m．

∴m+4＞0，

则212＝212；

当且仅当m+4时，即m＝﹣4时取等号；

故答案为：[212，+∞）．