Question

设函数（，为实数）.

（1）若为偶函数，求实数的值；

（2）设，求函数的最小值（用表示）.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）直接利用函数的性质的应用和函数的恒成立问题的应用求出a的值．

（2）利用分类讨论思想的应用求出函数的最小值．

（1）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对于任意实数恒成立．

即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．

（2）在的基础上，讨论x﹣a的符号，

①当x≥a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x，此时．

②当x＜a时，f（x）＝x2﹣x+a，所以函数f（x）的对称轴为x，此时．

又由于a时，，所以函数f（x）的最小值为．