Question

给正有理数、（，，，且和不同时成立），按以下规则排列：① 若，则排在前面；② 若，且，则排在的前面，按此规则排列得到数列.

（例如：）.

（1）依次写出数列的前10项；

（2）对数列中小于1的各项，按以下规则排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列，求数列的前10项的和，前2019项的和；

（3）对数列中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合，的子集满足：对任意的，有，求集合中元素个数的最大值.

Answer

（1）；（2），；（3）1010.

【解析】

（1）依题意，数列{an}的前10项为：，，，，，，，，；

（2）按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，进而求解；

（3）A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，进而求解；

（1）依题意，数列{an}的前10项为：，，，，，，，，，；

（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，

∴前10项和为：S105；

求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，∴n∈（63，64），

数列分母取遍2至64时，共有2016项，所有分母为65的还有3项，即：，，，

∴数列{bn}前2019项为：{，，，，，，，，，，，，，，}，

当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S，

∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′•1008，

S2019＝S′1008，

（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．