Question

已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.

（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；

（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；

（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.

Answer

（1）是；（2）；（3）是，证明见解析.

【解析】

（1）直接判断即可，

（2）由（1）的方法判断，可得y＝﹣2时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出a的取值范围；

（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0，2）．

（1）由题意得椭圆方程：1，所以A（0，2），

设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（1）+（y﹣2）2y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，

二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，

所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，

∴椭圆是“圆椭圆”；

（2）由（1）的方法：椭圆方程：1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（1）+（y﹣2）2＝（1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，

当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，

讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2（与矛盾，舍）；

②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，

综上a的范围：（2，2]．

（3）a＝2，椭圆方程：1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：yx+2⇒M（，0）

则直线AQ：y2⇒N（，0），

MN为直径的圆过定点C，由对称性知C在y轴上，∴设C（0，n）则，且0，

∴,（n），∴,

所以得定点（0，2）．