Question

如图，在四棱锥中，平面平面，，，．

（1）求证：；

（2）若为线段上的一点，，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设交于点，证明平面内的两条相交直线即可得到线面垂直，再由线面垂直的性质，可证明线线垂直；

（2）找到三条两两互相垂直的直线，以为原点，以射线为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，即可求得答案.

设交于点，，，所以，所以，在中，

且，得，即，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以

（2）平面平面，平面平面，平面，，所以平面，

以为原点，以射线为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，，，，，,,

设平面的法向量为，则，

取，得

设平面的法向量为，

则，取，得，

设所求角为，则，

所求的锐二面角余弦值为