Question

已知椭圆：的长轴长是离心率的两倍，直线：交于，两点，且的中点横坐标为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若，是椭圆上的点，为坐标原点，且满足，求证：，斜率的平方之积是定值．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由椭圆长轴长是离心率的两倍得，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式，可得，即可求得的值，从而得到椭圆的方程；

（2）设，由和在椭圆上，得到坐标的关系，即，再代入表达式中可得到答案.

由椭圆：的长轴长是离心率的两倍

得，即………..①

设

联立和

整理得；

所以，

依题意得：，即……..②·

由①②得依题意得：，

所以椭圆的方程为.

（2）设，由得

因为在椭圆上，

所以，

=.