Question

已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）

【解析】

（1）对函数进行求导得，再解不等式得到函数的单调区间；

（2）将不等式恒成立等价转化为，再构造函数，利用导数研究函数的最小值.

（1）.

当时，单调递增；

当时，单调递减.

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)由得

也就是，令

则=，由知，.

设，，在单调递增，

又，所以存在使得，

即.

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增;

所以=.

所以的取值范围是.