Question

如图，平面，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.

Answer

（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系

(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；

(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；

(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.

依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，

可得.

设，则.

(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，

又，可得，

又因为直线平面，所以平面.

(Ⅱ)依题意，，

设为平面BDE的法向量，

则，即，

不妨令z=1，可得，

因此有.

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.

不妨令y=1，可得.

由题意，有，解得.

经检验，符合题意｡

所以，线段的长为.