Question

已知椭圆C：的离心率，椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点A作直线与椭圆相交于点B，则轴上是否存在点P，使得线段，且？若存在，求出点P坐标；否则请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由椭圆C上的点到其左焦点的最大值为，可得，结合离心率解方程组即可得解；

（Ⅱ）先讨论直线的斜率时，可得P，讨论直线的斜率不为0时，设为直线的方程为：，与椭圆联立得点B，进而得AB的中垂线方程，令可得点P，再由求解方程即可.

（Ⅰ）由题可知，故设则

又∵椭圆C上的点到其左焦点的最大值为

∴可判定那一点的坐标为

∴

∴

∴a=2，

∴

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）由，可知点P在线段AB的中垂线上，由题意知直线的斜率显然存在设为.

当直线的斜率时，则B(2,0).设.

由，解得，又.

当直线的斜率不为0时，设为直线的方程为：.

联立得：.

有：，解得，即.

AB的中点为，

线段AB的中垂线为：，令，得.

即.

.

解得，此时.

综上可得或.