Question

平面内任意一点到两定点、的距离之和为.

（1）若点是第二象限内的一点且满足，求点的坐标；

（2）设平面内有关于原点对称的两定点，判别是否有最大值和最小值，请说明理由？

Answer

（1）；（2）有最大值，最小值.

【解析】

由椭圆的定义可以直接求出椭圆的标准方程.

（1）根据数量积的坐标运算公式，得到等式，与椭圆的标准方程联立，解方程即可；

（2）设出两点坐标，根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆上和椭圆的范围，可以求出的最大值及最小值.

因为，所以椭圆的定义可知：点的轨迹是以、为焦点的椭圆，，所以点的轨迹方程为：.

（1）设点的坐标为：，所以

，

因为，所以，与联立，解得

，点的坐标为；

（2）存在最大值和最小值，理由如下：

根据题意，设的坐标分别为：，

，

则而，

所以，因为，所以，

.