Question

已知椭圆的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且，为等边三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段为直径的圆的方程；

（3）已知是过点A的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于两点，直线与椭圆C交于另一点R；求面积取最大值时，直线的方程.

Answer

（1） （2） （3）.（也可写成.）

【解析】

（1）由椭圆左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且，为等边三角形，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程.

（2）设，则由条件，知，，且，.推导出，进而求得直线NH的方程：.由求得.再求出线段的中点坐标，由此能求出以线段为直径的圆的方程.

（3）当直线的斜率为0时，.当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式，结合已知条件能求出结果.

（1）∵椭圆的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B

且，为等边三角形.

∴由题意，得：，解得，∴椭圆C的方程为.

（2）设，则由条件，知，，且，.

从而.

于是由及，得.

再由点M在椭圆C上，得，求得.

所以，

进而求得直线NH的方程：.

由求得.

进，

线段的中点坐标为.

∴以线段为直径的圆的方程为：.

（3）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C相切于点A，不合题意，

当直线的斜率为0时，由题意得.

当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，

则点O到直线的距离为，从而由几何意义，得，

由于，故直线的方程为，由题意得它与椭圆C的交点R的坐标为，

于是.

故，

令，则，

当且仅当即时，上式取等号.

∵，故当时，，

此时直线的方程为：.（也可写成.）