Question

设函数，且，下列命题：

①若，则；

②存在，，使得；

③若，，则；

④对任意的，，都有.

其中正确的命题个数是（    ）

A.4 B.3 C.2 D.1

Answer

B

【解析】

作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案.

对于①，设，，，显然①不正确；

作出函数的图象，取点，点，取线段的中点，过作垂直于轴的直线交函数图象于，显然，即，即④成立.

在弧之间，必存在某点，使过该点的切线的斜率等于割线的斜率，所以②对.

对于③，，在上单调递减，，表示过点的切线的斜率为1，若，，则，，割线的斜率小于1，所以③对.

故选：B.