Question

已知是圆锥的高，是圆锥底面的直径，是底面圆周上一点，是的中点，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示.

（1）求证：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连结，易证，，从而可证明平面，进而可证明平面平面；

（2）先证明，，两两垂直，进而建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的方法求得二面角的余弦值即可.

（1）连结，则，

又因为是的中点，所以.

因为是圆锥的高，所以平面，

平面，所以，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）由已知可得，

所以为正三角形，.

又因为，所以，所以.

于是分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，.

则，，.

设平面的法向量为，

由得：.

令，得，，

即.

设平面的法向量为，

由得：，

令，得，，即.

设二面角的大小为，由图可知，，则.

故所求二面角的余弦值为.