Question

已知椭圆：的右焦点为，离心率为，是椭圆上位于第一象限内的任意一点，为坐标原点，关于的对称点为，，圆：.

（1）求椭圆和圆的标准方程；

（2）过点作与圆相切于点，使得点，点在的两侧.求四边形面积的最大值.

Answer

（1）椭圆的标准方程为，圆的标准方程；（2）

【解析】

（1）设椭圆左焦点为，连接，，易知四边形为平行四边形，则，结合离心率为，可求得，即可求得椭圆和圆的标准方程；

（2）设，代入椭圆方程可得到的关系式，然后分别求得的面积的表达式，即可得到四边形面积的表达式，结合的关系式，求面积的最大值即可.

（1）设椭圆左焦点为，连接，，

因为，，所以四边形为平行四边形，

所以，所以，

又离心率为，所以，.

故所求椭圆的标准方程为，圆的标准方程.

（2）设，则，故.

所以，所以，

所以.

又，，所以.

故.

由，得，即，

所以，

当且仅当，即，时等号成立.