Question

已知函数，.

（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；

（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意可知，关于的方程的两根分别为和，由韦达定理可求出的值；

（2）由题意可知，求出函数的最大值，然后分、、三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数的最小值，解出不等式即可.

（1）根据题意可知，关于的方程的两根分别为和，

由韦达定理可得，因此，；

（2）对任意的，，不等式恒成立，

则，

对于函数，，

由于内层函数在区间上单调递增，

外层函数在定义域上为减函数，

所以，函数在区间上单调递减，

当时，函数取得最大值，即.

由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，即当时，函数在区间上单调递增，

此时，，由题意可得，解得，

此时，；

②当时，即当时，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，，由题意得，解得，

此时，；

③当时，即当时，函数在区间上单调递减，

此时，，由题意可得，解得，

此时，.

综上所述，实数的取值范围是.