Question

已知函数，.

（1）证明：当时，函数在区间上单调递增；

（2）若时，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）函数在区间上单调递增（2）

【解析】

（1）求出f（x）的导数，求出函数的单调区间即可证明；

（2）求出函数的导数，问题转化为研究的单调性及最值，从而借助于f（x）的最小值大于等于0得到，利用零点代换法求得的范围，则可求出a的范围．

（1）

当时，

，，

当时，，当时，

所以在区间增，在区间为上减

所以，即，所以函数在区间上单调递增

（2）设

，所以在上单调递增,

（1）当，即时，在上是单调递增的，，

所以

（2）当，即时，，

故存在唯一的，使，所以当时，，当时，，所以在区间增，在区间为上减

所以，，又

得，

又，令，则在上恒成立，

可得是随增大而增大的，所以

综上：