Question

已知函数,．

(1)求函数的极值；

(2)对,不等式都成立,求整数k的最大值；

Answer

(1)极小值为无极大值；(2)3.

【解析】

求出函数的单调区间,然后求解函数的极值，

问题转化为在上恒成立,令,,再求导, 分类讨论,利用导数求出函数的最值,即可求出k的值．

【解析】
,，

，

当时,，函数单调递减,当时,，函数单调递增,

当时,取得极小值,极小值为无极大值．

，,不等式都成立,

在上恒成立,

即在上恒成立,

令,,

,

当时,即时,在上恒成立,

在上单调递增,

,

,此时整数k的最大值为2,

当时,令,解得,

当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,

,

由,

令,

在上恒成立,

在上单调递减,

又，,

存在使得,

故此时整数k的最大值为3,

综上所述整数k的最大值3．