Question

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知，，求证：.

证明：构造函数，

即

.

因为对一切，恒有，

所以，从而得.

（1）若，，请写出上述结论的推广式；

（2）参考上述证法，对你推广的结论加以证明.

Answer

（1）若，，…，，则；（2）略.

【解析】

试题（1）根据题干中的式子，类比写出求证： ；（2）构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，展开后是关于x的二次函数，函数大于等于0恒成立，即判别式小于等于0，从而得证.

解析：

(1)解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1.

求证： .

(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋＝nx2－2x＋,

因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，

所以Δ＝4－4n()≤0，

从而证得≥.

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