Question

市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．

（1）当一次投放个单位的洗衣液时，求在分钟时，洗衣液在水中释放的浓度．

（2）在（1）的情况下，即一次投放个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

（3）若第一次投放个单位的洗衣液，分钟后再投放个单位的洗衣液，请你写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度（克/升）与时间（分钟）的函数关系式，求出最低浓度，并判断接下来的四分钟是否能够持续有效去污．

Answer

（1） （2）分钟 （3）答案见解析

【解析】

（1）根据条件建立函数关系即可得到结论．

（2）根据由（1）得,结合已知,即可求得答案.

（3）根据条件建立第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度（克/升）与时间（分钟）的函数关系式,结合基本不等式的应用进行求解即可．

（1）,

当时,

（2）则由（1）得,

当时,由,解得,

所以此时．

当时,由,解得,所以此时．

综上所述,得,若一次投放个单位的洗衣液,则有效去污时间可达分钟．

（3）当时,,

,

,

当且仅当,即时取等号,

有最小值,

接下来的四分钟能够持续有效去污．