Question

如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，分别为棱，，的中点．

（1）求证：；

（2）若，，求三棱锥的体积；

（3）判断直线与平面的位置关系，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析 （2） （3）平面AEF，理由见解析

【解析】

（1）首先证出，，根据线面垂直的判定定理证出平面，再由线面垂直的定义即证.

（2）证出为三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式以及等体法即可求解.

（3）利用线面平行的判定定理即可证出直线与平面的位置关系.

证明：（1）

平面平面

，

，点为的中点，

又，面

平面

又平面

，即

（2），故，

三棱柱中，侧棱底面，

平面

平面,

又平面

即为三棱锥的高

（3）平面，证明如下：

连接，记与相交于点 ,连接

分别为和的中点，

故

四边形为平行四边形

为中点，

又为中点，

平面，平面，

平面