Question

已知函数.

（1）判断的单调性，并说明理由；

（2）判断的奇偶性，并用定义证明；

（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）增函数，理由见解析 （2）奇函数，证明见解析 （3）

【解析】

（1）利用函数单调性的定义即可得证.

（2）首先判断定义域关于原点对称，利用函数奇偶性定义即可得证.

（3）由(1)(2)以及分离参数法将不等式转化为对任意恒成立，令，求的最大值即可.

【解析】
（1）是定义域上的增函数.

设任意的，且，则

，

因为,所以，又，所以

即，所以是定义域上的增函数.

（2）是奇函数.

证明：因为，定义域关于原点对称

所以对任意，都有

所以是奇函数.

（3）由（2）知为上的奇函数，所以不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立.

又由（1）知，在定义域上单调递增，

得对任意恒成立即对任意恒成立.

设,

则，故在上的最大值为，

所以实数的取值范围为.