Question

对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离是在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”.对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”.

（1）如图，若为坐标原点，，两点坐标分别为和，求，，；

（2）若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；

（3）已知函数，试在图象上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标.

Answer

（1）5,5,4 （2）图见解析，面积为50； （3）

【解析】

（1）由题中新定义即可求解

（2）设点坐标为，由新定义可得，即点的轨迹为正方形，从而可求得面积.

（3）由新定义，利用函数的单调性即可求出最小值，进而求出点的坐标.

【解析】
（1）由题得，

（2）

设点坐标为，因为点满足，

则，点的轨迹为如图所示正方形（说明：画出图形即可，不用说明理由）

该正方形所围成图形的面积.

（3）设点坐标为，则由题，因为，

设，任取，且，

则

，

，且，，

，在上是减函数，

当，即点的坐标为时，，即最小为4.