Question

已知函数.

（1）求函数的零点；

（2）若关于的方程()恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer

（1），， （2）

【解析】

（1）将函数去绝对值写成分段函数的形式，利用零点的定义解方程即可求解.

（2）作出函数的大致图象，令，利用数形结合分析可得①当，或当，，根据二次函数根的分布即可求解；或直接解方程，根据根的取值范围即可求出的取值范围.

【解析】
（1）由题得

①当时，令，得或（舍）；

②当时，令，得或，

函数的零点是，，.

（2）作出函数的大致图象，如图：

令，若关于的方程恰有5个不同的实数解

解法一：则函数的零点分布情况如下：

①当，时，则，得，故；

②当，时，则，得，故.

综上所述，实数的取值范围为.

解法二：则方程的根的情况如下：

①当，时，由得，

则方程，即，

故，所以；

②当，时，由得，

则方程，即，

故，所以.

综上所述，实数的取值范围为.