Question

已知函数．，且．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数与函数在公共点处有相同的切线，且在上恒成立．

（i）求和的值；（为函数的导函数）

（ii）求实数n的取值范围．

Answer

(1) 单调递增区间为，单调递减区间为和．(2) （i）（ii）

【解析】

(1)利用导数证明单调性即可；

(2)（i）根据点P是与的公共点，以及根据导数的几何意义列出方程组，求解即可得到和的值；

（ii）由，以及题设条件，判断是的极小值点，由，列出方程，构造函数，，利用导数得到其最值，即可得到实数n的取值范围．

【解析】
（1）∵

又因为，所以．

令，则，

∴；

令，则，

∴或

∴的单调递增区间为，单调递减区间为和．

（2）（i）∵与在公共点处有相同的切线

∴，∴．

（ii）∵在恒成立，且．

是的极值点，若是的极大值点，由于，则不满足在上恒成立．

∴是的极小值点，由（1）知

∴

∴，

令，，∴，

令则，．∵，，．

∴的值域为

所以实数的取值范围是