Question

若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁，在其定义域均存在唯一的x₂，满足f（x₁）f（x₂）=1，则称该函数为“依赖函数”．

（1）判断，y=2^x是否为“依赖函数”；

（2）若函数y=a+sinx（a＞1）， 为依赖函数，求a的值，并给出证明．

Answer

（1）不是，y=2x是（2） ，证明见解析

【解析】

（1）根据“依赖函数”的定义进行判断即可，

（2）只需要函数y=a+sinx的最大值和最小值满足f（x1）f（x2）=1即可，建立方程关系进行求解即可．

（1）【解析】
（1）函数，由f（x1）f（x2）=1，得，

对应的x1、x2不唯一，所以不是“依赖函数”；

对于函数y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得，

所以x2=﹣x1，可得定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2满足条件，故函数y=2x是“依赖函数”．

（2）当时，函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，

若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，

则只需要函数的最大值和最小值满足f（x1）f（x2）=1即可，

则函数的最大值为a+1，最小值为a﹣1，

则由（a+1）（a﹣1）=1得a2﹣1=1，

得a2=2，因为a＞1，所以得a=．