Question

已知椭圆 （a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，焦距为2c且a=2c，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在双曲线 上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄，试证明：k₁+k₂+k₃+k₄为定值；

（3）在椭圆C外的抛物线K：y²=4x上取一点E，若EF₁、EF₂的斜率分别为，求的取值范围．

Answer

（1） （2）0（3）

【解析】

（1）由椭圆的通径公式及a=2c，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程方程；

（2）根据直线的斜率公式，求得， ，由共线，得，即可求得结论；

（3）先用E点坐标表示，再根据函数单调性即可求得的取值范围．

（1）由题意a=2c，椭圆的通径为=3，

因为a2=b2+c2，所以a=2，b=，c=1，

∴椭圆的标准方程：；

（2）由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x1，y1），

则，则=

设Q（x2，y2），则，则

则 ==，

又共线，∴，

（3）设，由，解得：，

由E在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上一点，则，

则EF1 、EF2的斜率分别为，（）

则，（）

在（，4），（4，+∞）上分别单调递增，

∴的取值范围．