Question

设T_n为数列{a_n}的前n项的积，即T_n=a₁•a₂…•a_n．

（1）若T_n=n²，求数列{a_n}的通项公式；

（2）若数列{a_n}满足T_n=（1﹣a_n）（n∈N^*），证明数列为等差数列，并求{a_n}的通项公式；

（3）数列{a_n}共有100项，且满足以下条件：

①；

②（1≤k≤99，k∈N^*）．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？

Answer

（1） （2）（3）（Ⅰ）见解析（Ⅱ）299

【解析】

（1）（1）利用作商法求an；

（2）利用等差数列的定义证明数列为等差数列，并求得{an}的通项公式；

（3）（Ⅰ）由题意联立方程组求得T4，T5，则由a5=即得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Tk是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积Tk确定，由Tk+1可得到两个ak+1，即得符合条件的数列共有299个．

（1）当n=1时，a1=T1=1；

当n≥2时，an=，

∴

（2）当n=1时，a1=T1=（1﹣a1），所以a1=，

当n≥2时，2Tn=1﹣an=1﹣，

所以﹣=2，数列{}为等差数列

=3+2（n﹣1）=2n+1，Tn=，an=1﹣2Tn=

（3）（Ⅰ）由，；可得T4=3±，

由，；可得T5=，

所以或或或

（Ⅱ），，所以a1=1或2

Tk是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（其中△＞0），

当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积Tk确定，由Tk+1可得到两个ak+1

所以符合条件的数列共有299个