Question

已知函数

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）用定义证明在上是减函数；

（3）函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

Answer

（Ⅰ）函数为奇函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数．

【解析】

试题（Ⅰ）首先求函数定义域并验证其定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义验证即证；（Ⅱ）根据减函数的定义，证明当且时，总有即证；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知函数为奇函数，其图象关于原点对称，得在（﹣1，0）上是减函数．

试题解析：（Ⅰ）函数为奇函数，理由如下：

易知函数的定义域为：，关于坐标原点对称.

又

在定义域上是奇函数.

（Ⅱ）设且，则

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．

∴，即

因此函数在（0，1）上是减函数.

（Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数．