Question

设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面.

（1）求球的表面积；

（2）证明：平面平面，且平面平面.

（3）与侧面平行的平面与棱，，分别交于，，，求四面体的体积的最大值.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）先取的中点,连接.根据,得出的外心为.再因为,则.平面平面,平面平面,所以平面,球心在上.得出是线段上靠近点的一个三等分点.然后求出球的半径,则得出球的表面积为.

（2）根据在上,则平面,又平面,则有平面平面.再证平面平面,所以有平面,又平面,即可证得平面平面.

（3）先求到平面的距离.设,到平面的距离为.由平面平面,得到三角形相似,则可得的面积,求出,得到到平面的距离为,则四面体的体积.转化为函数,利用导函数求得最大值.

（1）【解析】
取的中点,连接.

因为,所以的外心为.

因为,所以.

又平面平面,平面平面,所以平面,

所以在上.

因为是等边三角形,所以是线段上靠近点的一个三等分点.

由题意得,解得,

所以球的半径,球的表面积为.

（2）证明：因为在上,所以平面,

又平面,所以平面平面.

连接,则,又平面平面,所以平面,

又平面,所以平面平面.

（3）【解析】
因为,所以到平面的距离.

设,到平面的距离为.

因为平面平面,所以,则的面积为.

又,所以到平面的距离为,

所以四面体的体积.

设,,

当时,；当时,.

所以,

即四面体的体积的最大值为.