Question

如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，为上一点，且.

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）连接交于点,连接,利用相似证得,进而得证；

（2）以为坐标原点,所在的方向分别为轴、轴的正方向,与均垂直的方向作为轴的正方向,利用平面法向量求解二面角余弦值即可

【解析】
（1）连接交于点,连接,

因为,所以与相似,

所以,

又,所以,

因为平面,平面,

所以直线平面

（2）由题,因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面,

以为坐标原点,所在的方向分别为轴、轴的正方向,与均垂直的方向作为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

因为,,

则,,,,

所以,,,

设平面的一个法向量为,则

,即,

令,得,,于是,

设平面的一个法向量为,则

,即,

令,得,,于是,

设二面角的平面角的大小为,则,

所以二面角的余弦值为