已知函数，其中. （1）求函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数；（3）若...

已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若存在两个不同的零点，求证：.

（1）增区间为，，减区间为（2）见解析（3）证明见解析【解析】（1）先求出的定义域,求得导函数,令可解得或,分类讨论判断或,进而解得单调区间；（2）整理函数为,则令,当时,,则分别讨论和两种情况,利用零点存在性定理判断零点个数；（3）由（2）可知,构造函数,利用导数可得在单调递增,则,整理即可得证【解析】（1）函数的定义域为, , 令,得或, 因为,当或时,,单调递增；当时,,单调递减, 所以的增区间为,；减区间为（2）取,则当时,,, 所以；又因为,由（1）可知在上单调递增,因此,当,恒成立,即在上无零点.；下面讨论的情况： ①当时,因为在单调递减,单调递增,且,,, 根据零点存在定理,有两个不同的零点； ②当时,由在单调递减,单调递增,且，此时有唯一零点； ③若,由在单调递减,单调递增,, 此时无零点；综上,若,有两个不同的零点；若,有唯一零点；若,无零点（3）证明：由（2）知,,且, 构造函数,, 则, 令,, 因为当时,,, 所以又,所以恒成立,即在单调递增, 于是当时,,即 , 因为,所, 又,所以, 因为,,且在单调递增, 所以由,可得,即

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考点分析：

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