Question

已知函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由奇函数的定义，化简变形得出对任意的恒成立，由此可求出实数的值；

（2）任取，作差，因式分解后判断的符号，得出和的大小关系，即可证明出函数的单调性；

（3）由得出，利用函数的单调性得出，则对恒成立，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.

（1）函数是奇函数，又，

，即，

整理得，即对任意的恒成立，

，解得；

（2）是上的增函数，理由如下：

在上任取，

，

.

是上的增函数；

（3），且函数是奇函数，

所以，

函数是上的增函数，，

对恒成立， ，，

因此，实数的取值范围是.