Question

如图：在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P、M、Q、N分别为线段A₁B₁、AB₁、BC、PQ的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥AC；

（Ⅱ）求证：BD⊥PQ．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）连接 并延长交于点，连接，由题意通过证明，，即可证明；

（Ⅱ）由已知利用线面垂直的性质可知，又为正方形，可知，利用线面垂直的判定定理可知平面，根据线面垂直的性质即可证明．

证明：（Ⅰ）连接 并延长交于点，连接，

由题意可得为线段的中点，

又为线段的中点，

所以，

由题意可得为线段的中点，

所以，

所以；

（Ⅱ）由正方体可得平面，

由（Ⅰ）可知，

所以平面，

可得，

又为正方形，

所以，

所以，

又，

所以平面，

所以．