Question

如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB，E为PC中点．

（Ⅰ）证明：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离．

Answer

（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．

（Ⅱ）由平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，取的中点，连结，记点到平面的距离为，三棱锥的体积，由此能求出点到平面的距离．

证明：（Ⅰ）取的中点，连结，．

为的中点，，且．

又，且，

，且，故四边形为平行四边形．

．

又平面，平面，

平面．

【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面．

故点到平面的距离等于点到平面的距离．

取的中点，连结．

平面，平面，

平面平面．

又是边长为2的正三角形，，，且．

平面平面，平面．

四边形是直角梯形，，，，

，．

，，，，

，．

．

记点到平面的距离为，

三棱锥的体积，

．

点到平面的距离为．