Question

如图，P是圆x²+y²＝4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程

（Ⅱ）设A、B是轨迹C上的不同两点，点E（﹣4，0），且满足，若λ∈[，1），求直线AB的斜率k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）k∈（，]∪[，）．

【解析】

（Ⅰ）设，则，由，知，通过点在圆上，代入求解即可得到轨迹方程．并说明图形．

（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在且不为0，不妨设直线，联立，根据△可得，再根据，以及根与系数关系可得，利用函数思想求出函数的取值范围，进而可求出的取值范围．

【解析】
（Ⅰ）设，则，由，知，

点在圆上，

，故点的轨迹的方程为；

（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在且不为0，不妨设直线，

联立，整理得，

则△，解得即，

设，，，，

则根据韦达定理得，，

又因为，即，，，

所以，从而，

消去得，

令其中，，

则在，上单调递减，即有，

从而，

所以，解得即或，

综上，，，．