Question

已知函数=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式≥1的解集；

（2）若不等式≥x²–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由于f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；

（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max，从而可得m的取值范围．

【解析】
（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，

∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x），

当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x1，

∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（）1；

当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，

∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；

综上，g（x）max，

∴m的取值范围为（﹣∞，]．