Question

如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由侧棱垂直于底面，且，得可侧面与底面垂直，从而与侧面垂直，因此有，即有，于是只要证即可有线面垂直，从而证，这个在矩形由相似三角形可得证；

（2）以分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）．

（1）证明：∵平面

∴四边形是矩形

∵为中点，且

∴

∵，，

∴，∴

连接 ，

∵，∴与相似

∴，∴

∴

∵，∴平面

∴平面

∵平面，∴

∴平面，∴．

（2）解∶如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则

，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，则，

解得：

同理，平面的法向量

设二面角的大小为，则

即二面角的余弦值为.