Question

已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.

Answer

（1）（2）的最小值为1，此时直线：

【解析】

（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；

（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，

设，，则可得，，由求出，

将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.

（1）设，则，即

整理得

（2）设：，将其与曲线的方程联立，得

即

设，，则，

将直线：与联立，得

∴

∴

设.显然

构造

在上恒成立

所以在上单调递增

所以，当且仅当，即时取“=”

即的最小值为1，此时直线：.

（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）