Question

已知函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2）．

（1）求实数m的值；

（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；

（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．

Answer

（1）m＝1（2）函数是奇函数,证明见解析（3）函数是单调递减函数,证明见解析

【解析】

（1）利用函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2），代入计算求实数m的值；

（2）利用函数f（x）的奇偶性的定义，判断与证明；

（3）利用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

（1）∵函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2），

∴2＝1+m，

∴m＝1；

（2）f（x）＝x，定义域为：，

又f（﹣x）＝﹣xf（x），

∴函数f（x）是奇函数；

（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，

设0＜x1＜x2＜1，

则，

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

∴，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，1）上的单调递减．