Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x²﹣2x．

（1）求f（0）及f（f（1））的值；

（2）求函数f（x）的解析式；

（3）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，

Answer

（1）f（0）＝0，f（1）＝﹣1（2）（3）（﹣1，0）

【解析】

（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，

同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；

（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；

（3）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，作出函数f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案．

（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；

则f（0）＝0，

f（1）＝1﹣2＝﹣1，

又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，

则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；

（2）设x＜0，则﹣x＞0，

则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，

又由函数f（x）为偶函数，

则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，

则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，

∴

（3）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，

则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，

而y＝f（x）的图象如图：

分析可得﹣1＜m＜0；

故m的取值范围是（﹣1，0）．